Vector Calculus Formula

  • \(f, g\) champs scalaires \(\Omega \subset \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}, d=1\ldots 3\)

  • \(\mathbf{F}, \mathbf{G}\) champs de vecteurs \(\Omega \subset \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d, d=1\ldots 3\)

  • \(u=\left(u_{1}, \ldots u_{d}\right)\) champ de vecteur

  • \(A=\left(A_{i, j}\right) \in \mathbb{R}^{d \times d}\) tenseur (matrice)

1. champ scalaire

  • gradient \(\nabla f=(\partial_{x_i} f)_{i=1\ldots d}\)

  • laplacien \(\nabla^{2} f=\nabla \cdot(\nabla f)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\)

2. Champ de vecteurs

  • \(\nabla u=\left(\partial_{x_{j}} u_{i}\right)_{i, j}:\) gradient de \(u(\text { matrice jacobienne })\)

  • \(\varepsilon(u)=\frac{1}{2}\left(\nabla u+\nabla u^{T}\right):\) partie symétrique du gradient de \(u\)

  • \(\Delta u=\left(\Delta u_{1}, \ldots, \Delta u_{d}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{d}:\) Laplacien du \(u\)

3. Operateur \(u \cdot \nabla \)

  • \(u \cdot \nabla f = u_i \cdot \partial_{x_i} f = \sum_{i=1}^d u_i \partial_{x_i} f \)

  • \(u \cdot \nabla u = ( u_i \cdot \partial_{x_i} u )^T = ( \sum_{i=1}^d u_i \partial_{x_i} u_1, \ldots, \sum_{i=1}^d u_i \partial_{x_i} u_d)^T\)

4. Champ de matrice, Tenseur

  • \(\nabla \cdot A=\left(\nabla \cdot A_{1,:}, \ldots, \nabla \cdot A_{d,:}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{d}:\) divergence d’un tenseur

  • \(A: B=\sum_{i, j} A_{i, j} B_{i, j} \in \mathbb{R}:\) produit contracté de deux tenseurs

5. Calcul intégral

Proposition: \(\Omega\) ouvert régulier Lipshitz et

  • Formule de Gauss vectorielle: \( u \in\left(H^{1}(\Omega)\right)^{d}\)

\[\int_{\Omega} \nabla \cdot u=\int_{\partial \Omega} u \cdot n\]

  • Formule d’intégration par partie vectorielle: \(A \in\left(H^{1}(\Omega)\right)^{d \times d}, v \in H^{1}(\Omega)\)

\[-\int_{\Omega}(\nabla \cdot A) \cdot v=\int_{\Omega} A: \nabla v-\int_{\partial \Omega}(A n) \cdot v\]

5.1. Calcul intégral (suite)

  • Formule de Green vectorielle \(u \in\left(H^{2}(\Omega)\right)^{d}, v \in\left(H^{1}(\Omega)\right)^{d}\)

\[-\int_{\Omega} v \cdot \Delta u=\int_{\Omega} \nabla u: \nabla v-\int_{\partial \Omega} v \cdot(\nabla u n)\]

6. Identités basiques en calcul

  1. \(\nabla(f+g)=\nabla f+\nabla g\)

  2. \(\nabla(c f)=c \nabla f,\) pour une constante \(c\)

  3. \(\quad \nabla(f g)=f \nabla g+g \nabla f\)

  4. \(\nabla(f / g)=(g \nabla f-f \nabla g) / g^{2},\) aux points \(\mathbf{x}\) où \(g(\mathbf{x}) \neq 0\)

  5. \(\operatorname{div}(\mathbf{F}\mathbf{G})=\operatorname{div} \mathbf{F}\operatorname{div} \mathbf{G}\)

  6. \(\operatorname{curl}(\mathbf{F}\mathbf{G})=\operatorname{curl} \mathbf{F}\operatorname{curl} \mathbf{G}\)

  7. \(\operatorname{div}(f \mathbf{F})=f \operatorname{div} \mathbf{F}+\mathbf{F} \cdot \nabla f\)

  8. \(\operatorname{div}(\mathbf{F} \times \mathbf{G})=\mathbf{G} \cdot \operatorname{curl} \mathbf{F}-\mathbf{F} \cdot \operatorname{curl} \mathbf{G}\)

  9. div curl \(\mathbf{F}=0\)

  10. \(\operatorname{curl}(f \mathbf{F})=f \operatorname{curl} \mathbf{F}+\nabla f \times \mathbf{F}\)

  11. curl \(\nabla f=\mathbf{0}\)

  12. \(\nabla^{2}(f g)=f \nabla^{2} g+g \nabla^{2} f+2(\nabla f \cdot \nabla g)\)

  13. \(\operatorname{div}(\nabla f \times \nabla g)=0\)

  14. \(\operatorname{div}(f \nabla g-g \nabla f)=f \nabla^{2} g-g \nabla^{2} f\)